He realizado la instalación local de EasyPHP y Spip en un PC y funcionan bien.

Entras al espacio privado, publicas articulos y ves el espacio público?

Para instalarlos en un red local y conseguir usar Spip desde otros equipos sobre la misma página ¿qué debo hacer?

Si tal es el caso, tu sitio Spip deberia verse des de la red local, al igual que todo tu sitio apache. Es cosa de llamarlo por la dirección IP de la maquina donde está instalado o, mejor, de configurar un DNS. Al menos que tengas un firewall activado en la máquina donde está instalado el Spip.

suerte.